Trực giác về giới hạn một phía
Trong khi đại số hỏi "Giá trị tại $x=a$ là bao nhiêu?", thì giải tích lại hỏi "Hàm số tiến gần đến giá trị nào khi $x$ tiến gần vô cùng đến $a$?" Điều này giúp ta xử lý các "lỗ hổng" hoặc điểm nhảy trong hàm số nơi giá trị có thể không tồn tại.
Ta viết $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ nếu ta có thể làm cho các giá trị của $f(x)$ tiến gần tùy ý đến $L$ bằng cách lấy $x$ đủ gần $a$ và $x$ nhỏ hơn $a$. Đây là "hướng tiếp cận từ bên trái" được thấy ở Hình 9.
Để giới hạn hai phía tồn tại, các góc nhìn trái và phải phải hoàn toàn thống nhất:
$$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = L = \lim_{x \to a^+} f(x)$$
Nếu chúng không khớp nhau, ví dụ như ở hàm Heaviside (Hình 8), ta nói giới hạn Không tồn tại (DNE).
Giới hạn vô hạn và đường tiệm cận
Đôi khi, một hàm số không tiến đến một số hữu hạn; nó phát triển vô hạn. Định nghĩa 4 nêu rằng nếu $f(x)$ tăng mà không bị chặn khi $x \to a$, ta nói $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$. Điều này xác định một đường tiệm cận đứng (Định nghĩa 6).
Ví dụ thực tế
- Ví dụ 8: $\lim_{x \to 0} 1/x^2 = \infty$. Cả hai phía đồ thị ở Hình 11 đều hướng lên trên cùng nhau.
- Ví dụ 10: Hàm số $y = \tan x$ có các đường tiệm cận đứng tại $x = \pi/2 + n\pi$ vì các giá trị tiến đến $\pm\infty$ (xem Hình 16).
- Hành vi logarit: Ở Hình 17, ta nhận thấy rằng $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$, tạo thành một đường tiệm cận đứng tại trục tung.